弗洛伊德算法

应用场景-最短路径问题

胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)

各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里

问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?

弗洛伊德算法基本介绍

  1. 和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
  2. 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径。
  3. 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
  4. 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

基本思想：

弗洛伊德算法定义了两个二维矩阵：

  1. 矩阵D记录顶点间的最小路径
    例如D[0] [3]= 10，说明顶点 0 到 3 的最短路径为10；
  2. 矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点
    例如P[0] [3]= 1，说明顶点 0 到 3的最短路径轨迹为：0 -> 1 -> 3。

它通过3重循环，k为中转点，v为起点，w为终点，循环比较D[v] [w] 和 D[v] [k]+ D[k] [w]最小值，如果 D[v] [k]+ D[k] [w]为更小值，则把 D[v] [k]+ D[k] [w]覆盖保存在D[v] [w] 中。

至于 v 到 k 的最短路径或者 k 到 w 的最短路径也是以同样的方式获得。

图解思路如下：

最短路径问题的代码实现

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package com.nanzx.floyd;

import java.util.Arrays;

public class FloydAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {

		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		// 创建邻接矩阵
		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
		final int N = 65535;
		matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
		matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
		matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
		matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
		matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
		matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
		matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };

		// 创建 Graph 对象
		Graph graph = new Graph(matrix, vertex);
		graph.floyd();
		graph.show();
	}

}

//创建图
class Graph {
	private char[] vertex; // 存放顶点的数组
	private int[][] dis; // 保存从各个顶点出发到其它顶点的距离
	private int[][] relay;// 保存到达目标顶点的中转顶点

	public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {
		this.vertex = vertex;
		this.dis = matrix;
		this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];
		// 对relay数组初始化, 注意存放的是中转顶点的下标
		for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
			Arrays.fill(relay[i], i);
		}
	}

	public void floyd() {
		for (int i = 0; i < dis.length; i++) {// 中转顶点
			for (int j = 0; j < dis.length; j++) {// 出发顶点
				for (int k = 0; k < dis.length; k++) {// 终点
					if (dis[j][i] + dis[i][k] < dis[j][k]) {
						dis[j][k] = dis[j][i] + dis[i][k];
						relay[j][k] = relay[i][k];
					}
				}
			}
		}
	}

	public void show() {
		for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
			for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
				System.out.print(vertex[relay[k][i]] + " ");
			}

			for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
				System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
			}
			System.out.println();
			System.out.println();
		}
	}
}

运行结果：

A A A F G G A (A到A的最短路径是0) (A到B的最短路径是5) (A到C的最短路径是7) (A到D的最短路径是12) (A到E的最短路径是6) (A到F的最短路径是8) (A到G的最短路径是2)

B B A B G G B (B到A的最短路径是5) (B到B的最短路径是0) (B到C的最短路径是12) (B到D的最短路径是9) (B到E的最短路径是7) (B到F的最短路径是9) (B到G的最短路径是3)

C A C F C E A (C到A的最短路径是7) (C到B的最短路径是12) (C到C的最短路径是0) (C到D的最短路径是17) (C到E的最短路径是8) (C到F的最短路径是13) (C到G的最短路径是9)

G D E D F D F (D到A的最短路径是12) (D到B的最短路径是9) (D到C的最短路径是17) (D到D的最短路径是0) (D到E的最短路径是9) (D到F的最短路径是4) (D到G的最短路径是10)

G G E F E E E (E到A的最短路径是6) (E到B的最短路径是7) (E到C的最短路径是8) (E到D的最短路径是9) (E到E的最短路径是0) (E到F的最短路径是5) (E到G的最短路径是4)

G G E F F F F (F到A的最短路径是8) (F到B的最短路径是9) (F到C的最短路径是13) (F到D的最短路径是4) (F到E的最短路径是5) (F到F的最短路径是0) (F到G的最短路径是6)

G G A F G G G (G到A的最短路径是2) (G到B的最短路径是3) (G到C的最短路径是9) (G到D的最短路径是10) (G到E的最短路径是4) (G到F的最短路径是6) (G到G的最短路径是0)