普里姆算法

应用场景-修路问题

胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通，

各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里，

问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。

最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

  • 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
  • N个顶点，一定有N-1条边
  • 包含全部顶点
  • N-1条边都在图中
  • 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法基本介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。

普利姆的算法如下:

  1. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
  2. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
  3. 若集合U中顶点u与集合V中的顶点之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，找到时将另一个顶点v加入集合U中，将边（u,v）加入集合D中，标记visited[v]=1
  4. 若集合U中顶点u和顶点v与集合V中的顶点之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，找到时将另一个顶点加入集合U中，将对应的边加入集合D中，同时标记该顶点为已访问
  5. 重复步骤，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

图解思路如下：

1.从顶点V0开始构造生成树，在与V0相连的V1，V5中找到权值最小的边，所以将V0和V1相连。

2.在与V0和V1相连的V2，V8，V6，V5中找到权值最小的边，所以将V1和V8相连。

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3.通过不断的转换，构造的过程如图（不能构成回路）：

修路问题的代码实现

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package com.nanzx.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {
	public static void main(String[] args) {
		char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		int verxs = data.length;
		// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
		int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, 
									   { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },
									   { 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, 
									   { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },
									   { 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, 
									   { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },
									   { 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };

		MGraph graph = new MGraph(verxs, data, weight);
		MinTree minTree = new MinTree();
		graph.showGraph();
		minTree.prim(graph, 0);
	}
}

//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		int[] visited = new int[graph.verxs];
		visited[v] = 1;// 标记为访问过
		int h1 = -1;// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000;
		for (int i = 1; i < visited.length; i++) {// n个顶点只需找n-1条边
			for (int j = 0; j < visited.length; j++) {// 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
				if (visited[j] == 1) {// 访问过的顶点
					for (int k = 0; k < visited.length; k++) {
						if (visited[k] == 0 && graph.weight[j][k] < minWeight) {
							minWeight = graph.weight[j][k];
							h1 = j;
							h2 = k;
						}
					}
				}
			}
			// 找到一条边是最小
			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
			// 将当前这个结点标记为已经访问
			visited[h2] = 1;
			// minWeight 重新设置为最大值 10000
			minWeight = 10000;
		}
	}
}

class MGraph {
	int verxs; // 表示图的顶节点个数
	char[] data;// 存放顶节数据
	int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵

	public MGraph(int verxs, char data[], int[][] weight) {
		this.verxs = verxs;
		this.data = new char[verxs];
		this.weight = new int[verxs][verxs];
		for (int i = 0; i < verxs; i++) {
			this.data[i] = data[i];
			for (int j = 0; j < verxs; j++) {
				this.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}

	// 显示图的邻接矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
}

运行结果：

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边<A,G> 权值:2
边<G,B> 权值:3
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7